Die Primzahlen, das Chaos in der Mathematik
Die Pythagoreer haben um 450 vor unserer Zeit aus dem Rechnen, das die Babylonier und Chinesen und Ägypter viel besser als die Griechen konnten, etwas gemacht, was seitdem Mathematik heißt. Mathematik, das ist eben nicht einfach: zwei plus sieben gleich neun, sondern die Frage: Was sind die allgemeinen Eigenschaften von Zahlen? Da gibt es die fundamentale Aussage von Philolaos, die ich etwas deutlicher zitieren möchte, als Pynchon das tut. Jede Zahl (außer der Eins, die heilig ist und gar keine Zahl) ist gerade oder ungerade. Damit kann man Ordnungsprinzipien in die Zahlen einführen, weil man ja nicht mehr mit einzelnen Werten rechnet (mit vier Äpfeln oder sieben Zwergen), sondern man macht jetzt allgemeine Aussagen: Jede gerade Zahl hat eine bestimmte Struktur und jede ungerade hat eine andere.
Das ist wunderschön und scheitert an einem einzigen Problem, das auch die späten Pythagoreer entdeckt haben: Es gibt etwas radikal Chaotisches, Unordentliches in der Mathematik. Theaitetos, der Mathematiklehrer keines Geringeren als Platons, nennt diese Monstren Primzahlen, diejenigen Zahlen, die sich nur durch sich selbst oder durch eins teilen lassen, die durch keine andere diagrammatische oder arithmetische Struktur einfangbar sind, weil sie vollkommen zufällig in die natürlichen Zahlen hineintröpfeln. So dachten zumindest alle Mathematiker bis zu Leonhard Euler: dass keine Struktur dahinter ist. Adrien-Marie Legendre und der 15-jährige Gauss haben sich dann hingesetzt und alle Primzahlen bis 100.000 oder 50.000 aufgeschrieben – und siehe da: Es ergab sich eine erste Vermutung über die Struktur der Primzahlen, der Primzahlen-Verteilungssatz.
Seit Gauss, seit etwa 1800, ist klar, dass die Anzahl der Primzahlen von 2 bis x etwa der Gleichung gehorcht: x durch natürlicher Logarithmus von x; das lässt sich mit einem Integral analytisch angeben. Aber natürlich kann man auf diese Weise noch nicht auf einzelne Primzahlen, das Gegenteil aller mathematischen Ordnung, präzise zugreifen – was wir doch wollen, weil wir alle fremden Codes knacken wollen, weil wir doch die National Security Agency sind und weil wir selbst die Einzigen sein wollen, die nicht geknackt werden können. Das ist schließlich das Geheimnis der amerikanischen Informationsmacht. Deshalb sind die Primzahlen kein harmloses Spiel mehr, sondern seit siebzig Jahren das wichtigste mathematische Tool der Kryptografie.
Dann kommt Bernhard Riemann und schreibt 1859 auf sechs Seiten ein kleines Memoire für die Berliner Akademie der Wissenschaften, in dem er seine Hypothese äußert, dass man die Primzahlen viel schärfer in ihrer Verteilung angeben kann, indem man die Riemannsche Zeta-Funktion benutzt – und dann vermutet, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion beim Real-Anteil von 0,5 liegen. Ich gestehe, dass ich als Computergrafiker die trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion viel mehr geliebt habe, die sind aufregend, grafisch. Aber es geht um die nicht-trivialen. Der Beweis für Riemanns Vermutung steht bis heute aus und würde die gesamte Zahlentheorie praktisch und mathematisch um einen Quantensprung weiterbringen.
Eine Offenbarung der griechischen Götter
Dies Problem ist es, worum es in «Against the Day» zwischen David Hilbert und der jungen Mathematikerin Sonja Kowalewskaja – im Roman heißt sie Yashmeen Halfcourt – geht. Hilbert hat in seinem berühmten Vortrag 1900 in Paris auf der Jahrhundertvereinigung der Mathematiker gesagt: Die Riemann’sche Vermutung über die Zeta-Funktion ist eines der zwanzig Probleme, die das 20. Jahrhundert unbedingt lösen muss (was es aber nicht geschafft hat, wie man im Jahr 2007 feststellen muss). Im Roman meldet sich die Heldin Yashmeen Halfcourt und sagt: «Herr Geheimrat» – auf Deutsch, mitten im englischen Text –, «diese Nullstellen haben doch ein symmetrisches Muster und sind auf eine bestimmte Weise verteilt. Könnte man die nicht als Eigenwerte in einer Hermite-Matrix lesen?» «Wieso, Fräulein Halfcourt», fragt der reale Hilbert hier im Roman zurück. Sie entgegnet einfach: «Könnte es nicht sein, dass physikalische Eigenschaften des Universums sich bei uns Mathematikern in diesen Nullstellen der Zeta-Funktion anmelden?»
